Quelle est la formule pour le paiement mensuel d'un prêt hypothécaire à taux révisable ?

Dans un prêt hypothécaire à taux variable (ARM), le taux d'intérêt de départ est garanti pendant une certaine période. Après cette période, le taux peut augmenter ou diminuer.

La mensualité de ces prêts est calculée comme si le taux n'avait jamais changé pendant la durée du prêt. Toutefois, si le taux change, la mensualité change également pour couvrir la variation des intérêts, de sorte que le prêt hypothécaire est toujours remboursé dans le même laps de temps.

En utilisant votre exemple, disons que vous avez un prêt hypothécaire de 25 ans qui est un ARM de 5 ans. Le taux d'intérêt initial est de 3 %, ce qui signifie que pendant les 5 premières années, votre taux est fixé à 3 %. Le paiement mensuel pour ces 5 premières années est le même que si vous aviez un prêt hypothécaire à taux fixe de 25 ans à 3 %. Voici la formule :

où :

• P = paiement mensuel
• L = montant du prêt
• c = taux d'intérêt mensuel. C'est le taux d'intérêt annuel divisé par 12.
• n = nombre de mois du prêt (années * 12)

Dans notre exemple, si le prêt est de 100 000 $, le taux d'intérêt est de 3 % (le taux d'intérêt mensuel est de 0,25 %, soit 0,0025), et le nombre de mois est de 300 (25 ans), le paiement mensuel sera de 474,21 $.

Maintenant, 5 ans après le début d'un prêt hypothécaire de 25 ans, le calendrier d'amortissement nous indique que le capital restant sera de 85 505,48 $.

Donc, si le taux passe à 4 % à ce moment-là, le paiement mensuel sera recalculé de manière à ce que le prêt soit toujours remboursé dans la période initiale de 25 ans. Pour trouver le nouveau paiement, utilisez à nouveau la formule ci-dessus, mais cette fois-ci L=85 505,48 $, c=0,04/12=0,0033333, et n=20*12=240. Le nouveau paiement mensuel est de 518,15 $.

Si, au contraire, vous avez un prêt dont le paiement sera constant pendant toute la durée du prêt, mais que le taux d'intérêt change pendant la période (ce qui n'est pas courant), il existe une formule pour cela aussi. Voir cette question StackOverflow pour les détails.

Normalement, dans le cas d'un prêt hypothécaire à taux variable, le paiement varie en fonction du taux. Cependant, voici une formule pour un paiement fixe (où, comme le dit le PO, l'ajustement du taux est connu d'avance) :

d = (p r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/
 (-r1 + (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

où

d is the periodic payment
p is the loan amount
r1 is the periodic rate for the first m periods
r2 is the periodic rate for the next n periods

Voici comment la formule est dérivée.

Premièrement, en prenant un problème simplifié pour montrer le fonctionnement plus clairement.

Disons un prêt de 100 000 £ remboursé par 5 versements annuels. Les 2 premières années à 3% et les 3 années suivantes à 4%.

p = 100,000
r1 = 0.03
m = 2
r2 = 0.04
n = 3

Le montant du prêt est égal à la somme de la valeur actuelle des paiements. Il s'agit de la valeur actuelle des paiements pour chaque période, actualisée par le(s) taux d'intérêt :-

pv1 = d/(1 + r1)
pv2 = d/((1 + r1) (1 + r1))
pv3 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2))
pv4 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2) (1 + r2))
pv5 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2) (1 + r2) (1 + r2))

Et p = pv1 + pv2 + pv3 + pv4 + pv5

Cela peut être exprimé comme une somme

et converti en une formule par induction :

p = ((1 + r1)^-m (1 + r2)^-n (-d r1 + 
      d (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2)))/(r1 r2)

Réorganisation pour donner une formule pour le paiement :

d = (p r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/
 (-r1 + (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

∴ d = 22078.67

Tableau d'amortissement pour le résultat ci-dessus montrant les chiffres et les formules

Retour à l'exemple du PO pour, disons, un prêt d'un million, avec le taux d'intérêt effectif à 3 % pour les 5 premières années et à 4 % pour les 20 années suivantes.

p = 1,000,000
r1 = (1 + 0.03)^(1/12) - 1 = 0.00246627
m = 5*12 = 60
r2 = (1 + 0.04)^(1/12) - 1 = 0.00327374
n = (25 - 5)*12 = 240

Le paiement d = 5026.48

Note pour l'utilisation des taux nominaux

Pour des taux d'intérêt nominaux de 3 % et 4 % composés mensuellement :

p = 1,000,000
r1 = 0.03/12 = 0.0025
m = 5*12 = 60
r2 = 0.04/12 = 0.00333333
n = (25 - 5)*12 = 240

Le paiement d = 5057.80