Le modèle Black-Scholes s'applique-t-il aux options de style américain ?

La différence entre une option américaine et une option européenne est que l'option américaine peut être exercée à tout moment, alors que l'option européenne ne peut être liquidée qu'à la date de règlement. L'option américaine est un instrument à “temps continu”, tandis que l'option européenne est un instrument à “temps ponctuel”. Le Black Scholes s'applique à cette dernière option, l'option européenne. Dans “certaines” circonstances (mais pas toutes), les deux sont suffisamment proches pour être considérées comme des substituts.

Un de leurs disciples, Robert Merton, l'a “bidouillé” pour décrire les options américaines. Il y a des débats à ce sujet, et d'autres ajustements, des années plus tard.

Black-Scholes est “assez proche” des options américaines puisqu'il n'y a généralement pas de raisons de faire un exercice précoce, donc la capacité de le faire n'a pas d'importance. Ce qui est une bonne chose, car il est difficile de faire des modèles mathématiques, ai-je lu.

L'exercice anticipé est généralement dû à une étrange erreur d'évaluation pour des raisons techniques ou d'action sur le marché, lorsque les évaluations théoriques des options sont erronées. Si vous vendez une option d'achat qui est loin dans la monnaie et n'obtient aucune valeur temps (après l'écart), par exemple, vous avez probablement vendu l'option d'achat à un arbitre qui va simplement l'exercer. Mais ce genre de chose inhabituelle ne change pas grand-chose à la situation globale.

Juste quelques observations dans le cadre de Black-Scholes :

• Les appels américains ont le même prix que les appels européens sur les actifs non rémunérés en dividendes.
• La formule de Black-Scholes n'est applicable qu'aux options européennes (et, par conséquent, aux calls américains sur des actifs non rémunérés en dividendes).
• Selon la parité call-put, si vous avez les prix des calls européens pour certaines dates d'expiration et grèves, vous avez également les prix des puts européens pour ces dates d'expiration et grèves.
  
• Si vous disposez des prix d'appel européens pour une date d'expiration donnée T pour toutes les grèves, vous pouvez facilement calculer le prix de tout gain “européen” pour cette expiration (par exemple, un appel numérique V = 1_{S>K}, ou une parabole V = S^2, ou autre). Conceptuellement, vous formez des écarts papillons __/_ pour une série de grèves croissantes, et ils vous donnent la probabilité “neutre en termes de risque” que vous vous retrouviez là, et vous intégrez ensuite simplement votre gain.

Ensuite, vous pouvez maintenant utiliser le cadre de Black-Scholes (le prix de l'action est un mouvement géométrique brownien, pas de frais de transaction, un taux d'intérêt unique, etc. etc.) et des méthodes numériques (comme un solveur PDE) pour évaluer les options de style américain numériquement, mais pas avec une simple formule de forme fermée (bien qu'il existe des approximations de forme fermée).

Une tangente mineure. On peut prétendre que le S&P a un rendement moyen de disons 10%, et un écart-type de disons 14% ou plus, mais quand on fait avec, on s'aperçoit que les rendements réels ne correspondent pas si bien à la courbe en cloche standard. Les anomalies du marché produisent le “déluge de 100 ans” beaucoup plus souvent que prévu, même sur une période de 20 ans. Cela signifie simplement que le modèle ne reflète pas la réalité à la queue de l'échelle, même si les écarts types de +/- 2 semblent jolis.

Cela vaut aussi pour les trous noirs (j'ai failli l'abréger en initiales, puis j'ai pensé à mieux, j'aime bien le modèle). La distinction entre américain et européen est suffisamment petite pour que la précision du modèle soit plus grande que la différence entre ces deux styles d'options. Je crois que si vous regardez le modèle et le prix réel, vous pouvez déterminer la volatilité d'une action donnée en utilisant des prix autour du prix d'exercice, mais lorsque vous modélisez ensuite les options bien nanties, vous trouvez souvent que le marché crée sa propre évaluation.

Oui, votre compréhension est correcte. À proprement parler, le modèle Black-Scholes est utilisé pour fixer le prix des options européennes. Toutefois, le gain (prix) des options européennes et américaines est suffisamment proche et peut être utilisé comme approximation si aucun dividende n'est versé sur le sous-jacent et si le coût de la liquidité est proche de zéro (par exemple dans un scénario de taux d'intérêt très bas).

Pour l'instant, il n'existe pas de méthode de forme fermée pour fixer le prix des options américaines. Du moins, aucune à ma connaissance. Vous devriez vous baser sur les treillis pour la tarification binomiale multipériode , qui est le plus souvent récursive.

Comme il n'y a aucun avantage à exercer l'option d'achat américaine de manière anticipée, nous pouvons utiliser la formule Black schole pour évaluer l'option, mais l'option de vente américaine est plus susceptible d'être exercée de manière anticipée, ce qui signifie que la formule Black schole ne s'applique pas à ce type d'option.